Misure di rendimento

«Misura ciò che è misurabile e rendi misurabile ciò che non lo è».

Galileo Galilei

Misurare il rendimento di uno strumento finanziario o di una collezione di strumenti finanziari (il “Portafoglio”) significa quantificarne percentualmente l’incremento o il decremento di valore in un certo periodo di tempo attraverso il cosiddetto “Tasso di rendimento”.

Generalmente, l’unità temporale è l’anno.

Non si deve confondere il tasso di rendimento con il tasso di interesse.

Di solito, il tasso di interesse è conosciuto al tempo 0 e ci permette di calcolare il montante al tempo t (con o senza reinvestimento degli interessi - da qui la distinzione tra tasso di interesse semplice e composto).

Il calcolo del tasso di rendimento avviene invece al tempo t ed è funzione del valore del portafoglio al tempo t (V_t) e iniziale (V_i).

Esistono molte modalità di calcolo del tasso rendimento ma le più conosciute ed utilizzate sono il Time-Weighted Rate of Return (TWRR) ed il Money-Weighted Rate of Return (MWRR).

Tasso di rendimento time-weighted (TWRR)

La formula di calcolo è la seguente:

\begin{equation} r=\left(\frac{V_t-V_i}{V_i}\right) \end{equation}

Dove V_t = valore finale e V_i = valore iniziale del portafoglio.

Ipotizzando un valore finale di 120 ed uno iniziale di 100 euro, il tasso di rendimento semplice sarà pari a:

\begin{equation} \left(\frac{120-100}{100}\right)=0,20=20\% \end{equation}

Allo stesso risultato potevamo arrivare dividendo il valore finale per quello iniziale, togliendo poi 1 da quanto ottenuto:

\begin{equation} \left(\frac{V_t}{V_i}\right)-1\ =1,20-1=0,20=20\% \end{equation}

 Se il valore finale è inferiore a quello iniziale, il tasso di rendimento è negativo e misura la perdita percentuale del portafoglio nell’unità di tempo considerata.

L’equazione precedente può essere riscritta nel modo seguente:

\begin{equation} 1+r=\frac{V_t}{V_i} \end{equation}

La quantità V_t/V_i è ottenibile anche moltiplicando i rapporti tra valori finali e iniziali dei sottoperiodi che compongono il periodo principale t:

\begin{equation} \frac{V_1}{V_i}+\frac{V_2}{V_1}+\frac{V_3}{V_2}+...+\frac{V_t}{V_{t-1}}=\frac{V_t}{V_i}=1+r \end{equation}

Per sostituzione, si può facilmente verificare che l’equazione precedente si può anche scrivere nel modo seguente:

\begin{equation} (1+r_1)(1+r_2)(1+r_3)\ ...\ (1+r_t)=1+r \end{equation}

Il TWRR non prende in considerazione l’ammontare investito ed i flussi di cassa in entrata e in uscita.

Per questo motivo il TWRR è una misura appropriata a valutare ed a confrontare tra loro le performance dei gestori dei fondi.

Tasso di rendimento money-weighted (MWRR)

Nella realtà, può accadere che durante la vita di un investimento si apporti e si prelevi in continuazione una parte del capitale.

Sottrarre la somma iniziale da quella finale in presenza di cashflow in entrata e in uscita non restituisce una misura corretta dell'effettiva crescita o diminuzione di capitale, perché il capitale finale è un mix di:

• Somme versate e capitalizzate in funzione del rendimento di ciascun investimento.
• Prelievi di capitale effettuati durante la vita dell'investimento.

In questo caso, la formula precedente non è adatta a misurare correttamente il rendimento e si deve ricorrere ad una metodologia di calcolo che tenga conto del tempo effettivamente investito di ogni flusso di capitale.

Il MWRR è il tasso (r) che risolve la seguente equazione:

\begin{equation} V_f=V_i(1+r)+\sum_{j=1}^{K}{C_j(1+r)}^{W_j} \end{equation}

Dove:

C_j = flusso di capitale in entrata o in uscita al giorno j.

W_j = peso che deve essere applicato a ciascun flusso di capitale, calcolato come segue:

\begin{equation} W_j=\frac{G_T-G_j}{G_T} \end{equation}

G_T = giorni totali dell’investimento.

G_j = numero di giorni trascorsi dall’inizio dell’investimento (inclusi i weekend e i giorni festivi).

La formula aiuta a chiarire perché questo tasso di rendimento sia definito money-weighted: ogni flusso di capitale (V_i e i vari C_j) ha un impatto sul tasso di rendimento finale proporzionato al suo valore e, se vogliamo che il tasso di rendimento finale sia il più alto possibile, il flusso o i flussi più ingenti dovranno performare al meglio.

In altre parole, il MWRR è il tasso di rendimento di un portafoglio ponderato in base all'entità delle somme di capitale effettivamente investite.

Nella pratica, si utilizza spesso il MWRR annualizzato.

Per calcolarlo, è necessario trovare il valore di r che risolve la seguente equazione:

\begin{equation} V_f={V_i\left(1+r\right)}^Y+\sum_{j=1}^{K}{C_j\left(1+r\right)^{W_j^y}} \end{equation}

Dove:

Y = durata dell’investimento in anni

= peso che deve essere applicato a ciascun flusso di capitale, calcolato come segue:

\begin{equation} W_j^y=Y-Y_t \end{equation}

Y_t = numero di anni trascorsi dall’inizio dell’investimento (inclusi i weekend e i giorni festivi)

Il tasso di rendimento money-weighted, complessivo o annualizzato, è la misura di rendimento più importante per un investitore, dal momento che quantifica con esattezza l’andamento del proprio portafoglio.

Il tasso di rendimento è, insieme al tempo, l'elemento principale che permette la crescita del valore di un investimento finanziario attraverso la capitalizzazione composta.

Il principio di funzionamento della capitalizzazione composta è facile da capire, ma in pochi ne comprendono fino in fondo la portata: quando il capitale investito genera un rendimento, esso va a incrementare il capitale iniziale (se non viene liquidato). Nel periodo successivo, il nuovo capitale – maggiore di quello iniziale – potrà generare, a sua volta, un rendimento. 

Anno dopo anno, se il tasso di rendimento annualizzato è positivo, il capitale totale aumenterà: tanto più velocemente, quanto più sarà alto il tasso di rendimento annualizzato e lungo il periodo di tempo trascorso dall'inizio dell'investimento.

La capitalizzazione composta è l'unico metodo per incrementare sensibilmente il proprio capitale per mezzo degli investimenti finanziari. Non è una formula segreta ed è a disposizione di tutti.

Eppure, è così difficile da realizzare per due motivi:

• Per ottenere un tasso di rendimento sufficientemente alto bisogna rischiare: il tasso risk-free – soprattutto di questi tempi ma non solo – non permette di far crescere il capitale in modo esponenziale in tempi ragionevoli.
• Serve tempo: almeno due decenni ma, per produrre effetti più consistenti, anche di più.